支持向量机 | 梦里风林

Page121: 划分超平面

超平面是将N维空间分成两个闭半空间的N-1维的仿射空间。划分超平面则是把两类数据集样本划分开来的超平面。

Page122: 支持向量

支持平面上把两类划分开来的超平面的向量点，即距离超平面最近的几个训练样本点。

Page122: 间隔

两个异类支持向量到超平面的距离之和为间隔， $\gamma = \frac{2}{\parallel \omega \parallel }$ .

Page123: SVM

$\min_{\omega,b} \frac{1}{2}\parallel \omega \parallel ^{2}$ s.t. $y_i(\omega ^{T}x_i+b)\geqslant 1, i=1,2,...,m$

Page123: 对偶问题(405)(dual problem)

在求最小值的原问题里，其对偶问题提供了一个下界(lower bound)。

Page124: KKT条件(124,132,135)(Karush-Kuhn-Tucker)

$\alpha _i\geqslant 1$
$y_i f(x_i)-1\geqslant 0$
$\alpha _i(y_if(x_i)-1)=0$ - Page126: 核函数
可以看成是一种映射，不仅可以是点对点的映射，还可以是一个分布对点的映射。

Page127: 核技巧(kernel trick)

$x_i$ 与 $x_j$ 在特征空间的内积等于它们在原始样本空间中通过函数κ(·,·)计算的结果。

Page127: 支持向量展式

模型最优解课通过训练样本的核函数展开。

Page128: 核矩阵(138,233)

$K=\begin{bmatrix}\kappa(x_1,y_1) & \cdots\ & \kappa(x_1,y_j) & \cdots\ &\kappa(x_1,y_m)\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \kappa(x_i,y_1) & \cdots\ & \kappa(x_i,y_j) & \cdots\ & \kappa(x_i,y_m)\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \kappa(x_m,y_1) & \cdots\ & \kappa(x_m,y_j) & \cdots\ & \kappa(x_m,y_m)\\ \end{bmatrix}$ 形为这样的核函数，可以将低维空间映射为高维空间，将原来线性不可分的分布转化为线性可分的分布。核函数可以表示高维空间的内积。此外，核函数必须满足对称性和矩阵半正定。

Page128: RKHS

非线性映射ϕ，它将原始特征空间中的数据点映射到另一个高维空间中，这个高维空间称为再生核希尔伯特空间(Reproducing Kernel Hilbert Space)，简称RKHS。

Page128: 高斯核

高斯核函数是最常用的径向基函数。

Page128: 线性核

线性核函数是 $\kappa(x_i,y_i)=x_i^Tx_j$ ；多项式核是 $\kappa(x_i,y_i)=(x_i^Tx_j)^d$ ，即d为1时退化为线性核。

Page129: 软间隔

允许支持向量机在一些样本上出错，即允许某些样本不满足约束。

Page129: 硬间隔

要求所有样本均满足约束，即所有样本都划分正确。

Page130: 0/1损失函数(page147)

$$ l_{0/1}(z) = \left{ \begin{array}{rl} 1, &\mbox{ if $z<0$} \ 0, &\mbox{ otherwise} \end{array} \right. $$

Page130: 替代损失

0/1损失函数不易直接求解（非连续，不是convex），所以通常会用其他函数来替代求解，也叫替代损失。

Page130: hinge损失

$l_{hinge}(z)=\max(0,1-z)$ ，采用hinge损失函数，则优化目标变成 $\min_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{m}max(0,1-y_i(w^Tx_i+b))$

Page130: 指数损失(173)

$l_{exp}(z)=\exp(-z)$

Page130: 对率损失

$l_{log}(z)=\log(1+\exp(-z))$

Page130: 松弛变量

松弛变量，即slack variables $\xi_i$

Page131: 软间隔支持向量机

引入了松弛变量 $\xi_i$ ，式子可重写为：

\begin{align*}& \min_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{m}max(0,1-y_i(w^Tx_i+b))\\& \begin{array}{r@{\quad}r@{}l@{\quad}l}s.t.&yi(w^Tx_i+b)\geq1-\xi_i\\ &\xi_i\geq0, i=1,2\ldots,m \\\end{array} .\end{align*}

Page133: 结构风险

描述模型f的性质， $\Omega(f)$ .

Page133: 经验风险

描述模型和训练数据的契合程度，可以理解为误差。

Page133: 罚函数法

正则化。对不希望得到的结果施以惩罚，从而使得优化过程趋向于希望目标。

Page133: 支持向量回归

Support Vector Regression(SVR)其实是对误差的计算加了一个误差容忍值epsilon（即 $\epsilon$ ），即落入这个 $\epsilon$ 误差范围内的不计入误差和中。

Page137: 核方法

这一系列基于核函数的学习方法统称为核方法。最常见的是将线性学习器拓展为非线性学习器。如把线性不可分的低维分布通过方法转成线性可分的高维分布。

Page137: Mercer定理

任何半正定的函数都可以作为核函数。

Page137: 表示定理

优化问题的解总可用核函数表示。

Page137: 核化(232)

引入核函数来解决问题。

Page137: 核线性判别分析

Kernelized Linear Discriminant Analysis(KLDA)是指引入核函数进行线性判别分析。

Page139: 割平面法

Cutting plane algorithm是求全整数规划的一种方法，先松弛求得最优解，再逐步把不符合整数可行解的那一部分可行域通过平面（不等式分割）划分掉。

Page140: 多核学习

使用多个核函数，学习后获得最优凸组合。

Page140: 一致性

相合性。即考虑通过求解替代损失函数得到的解释是否是原问题的解。

第6章 支持向量机

第6章支持向量机