支持向量机

第6章 支持向量机

  • Page121: 划分超平面

    超平面是将N维空间分成两个闭半空间的N-1维的仿射空间。划分超平面则是把两类数据集样本划分开来的超平面。

  • Page122: 支持向量

    支持平面上把两类划分开来的超平面的向量点,即距离超平面最近的几个训练样本点。

  • Page122: 间隔

    两个异类支持向量到超平面的距离之和为间隔,γ=2ω\gamma = \frac{2}{\parallel \omega \parallel }.

  • Page123: SVM

    minω,b12ω2\min_{\omega,b} \frac{1}{2}\parallel \omega \parallel ^{2} s.t. yi(ωTxi+b)1,i=1,2,...,my_i(\omega ^{T}x_i+b)\geqslant 1, i=1,2,...,m

  • Page123: 对偶问题(405)(dual problem)

    在求最小值的原问题里,其对偶问题提供了一个下界(lower bound)。

  • Page124: KKT条件(124,132,135)(Karush-Kuhn-Tucker)

    • αi1\alpha _i\geqslant 1

    • yif(xi)10y_i f(x_i)-1\geqslant 0

    • αi(yif(xi)1)=0\alpha _i(y_if(x_i)-1)=0 - Page126: 核函数

      可以看成是一种映射,不仅可以是点对点的映射,还可以是一个分布对点的映射。

  • Page127: 核技巧(kernel trick)

    xix_ixjx_j在特征空间的内积等于它们在原始样本空间中通过函数κ(·,·)计算的结果。

  • Page127: 支持向量展式

    模型最优解课通过训练样本的核函数展开。

  • Page128: 核矩阵(138,233)

    K=[κ(x1,y1) κ(x1,yj) κ(x1,ym)κ(xi,y1) κ(xi,yj) κ(xi,ym)κ(xm,y1) κ(xm,yj) κ(xm,ym)]K=\begin{bmatrix}\kappa(x_1,y_1) & \cdots\ & \kappa(x_1,y_j) & \cdots\ &\kappa(x_1,y_m)\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \kappa(x_i,y_1) & \cdots\ & \kappa(x_i,y_j) & \cdots\ & \kappa(x_i,y_m)\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \kappa(x_m,y_1) & \cdots\ & \kappa(x_m,y_j) & \cdots\ & \kappa(x_m,y_m)\\ \end{bmatrix} 形为这样的核函数,可以将低维空间映射为高维空间,将原来线性不可分的分布转化为线性可分的分布。核函数可以表示高维空间的内积。 此外,核函数必须满足对称性和矩阵半正定。

  • Page128: RKHS

    非线性映射ϕ,它将原始特征空间中的数据点映射到另一个高维空间中,这个高维空间称为再生核希尔伯特空间(Reproducing Kernel Hilbert Space),简称RKHS。

  • Page128: 高斯核

    高斯核函数是最常用的径向基函数。

  • Page128: 线性核

    线性核函数是κ(xi,yi)=xiTxj\kappa(x_i,y_i)=x_i^Tx_j;多项式核是κ(xi,yi)=(xiTxj)d\kappa(x_i,y_i)=(x_i^Tx_j)^d,即d为1时退化为线性核。

  • Page129: 软间隔

    允许支持向量机在一些样本上出错,即允许某些样本不满足约束。

  • Page129: 硬间隔

    要求所有样本均满足约束,即所有样本都划分正确。

  • Page130: 0/1损失函数(page147)

    $$ l_{0/1}(z) = \left{ \begin{array}{rl} 1, &\mbox{ if $z<0$} \ 0, &\mbox{ otherwise} \end{array} \right. $$

  • Page130: 替代损失

    0/1损失函数不易直接求解(非连续,不是convex),所以通常会用其他函数来替代求解,也叫替代损失。

  • Page130: hinge损失

    lhinge(z)=max(0,1z)l_{hinge}(z)=\max(0,1-z),采用hinge损失函数,则优化目标变成minw,b12w2+Ci=1mmax(0,1yi(wTxi+b))\min_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{m}max(0,1-y_i(w^Tx_i+b))

  • Page130: 指数损失(173)

    lexp(z)=exp(z)l_{exp}(z)=\exp(-z)

  • Page130: 对率损失

    llog(z)=log(1+exp(z))l_{log}(z)=\log(1+\exp(-z))

  • Page130: 松弛变量

    松弛变量,即slack variablesξi\xi_i

  • Page131: 软间隔支持向量机

    引入了松弛变量ξi\xi_i,式子可重写为:

  • Page133: 结构风险

    描述模型f的性质,Ω(f)\Omega(f).

  • Page133: 经验风险

    描述模型和训练数据的契合程度,可以理解为误差。

  • Page133: 罚函数法

    正则化。对不希望得到的结果施以惩罚,从而使得优化过程趋向于希望目标。

  • Page133: 支持向量回归

    Support Vector Regression(SVR)其实是对误差的计算加了一个误差容忍值epsilon(即ϵ\epsilon),即落入这个ϵ\epsilon误差范围内的不计入误差和中。

  • Page137: 核方法

    这一系列基于核函数的学习方法统称为核方法。最常见的是将线性学习器拓展为非线性学习器。如把线性不可分的低维分布通过方法转成线性可分的高维分布。

  • Page137: Mercer定理

    任何半正定的函数都可以作为核函数。

  • Page137: 表示定理

    优化问题的解总可用核函数表示。

  • Page137: 核化(232)

    引入核函数来解决问题。

  • Page137: 核线性判别分析

    Kernelized Linear Discriminant Analysis(KLDA)是指引入核函数进行线性判别分析。

  • Page139: 割平面法

    Cutting plane algorithm是求全整数规划的一种方法,先松弛求得最优解,再逐步把不符合整数可行解的那一部分可行域通过平面(不等式分割)划分掉。

  • Page140: 多核学习

    使用多个核函数,学习后获得最优凸组合。

  • Page140: 一致性

    相合性。即考虑通过求解替代损失函数得到的解释是否是原问题的解。