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附录

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Page399: 行列式（determinant）
n 阶方阵 A 的行列式（determinant）定义为：
det(A)=∑σ∈Snpar(σ)A1σ1A2σ2...Anσndet(A) = \sum_{\sigma \in S_n} par(\sigma) A_{1\sigma_1}A_{2\sigma_2}...A_{n\sigma_n}det(A)=∑σ∈Sn​​par(σ)A1σ1​​A2σ2​​...Anσn​​

其中，Sn 为所有 n 阶排列（permutation）的集合，par(σ) 的值为 -1 或 +1 取决于 σ = (σ1,σ2,...σn) 为奇排列或偶排列，即其中出现降序的次数为奇数或偶数，例如 (1,3,2) 中降序次数为 1，(3,1,2) 中降序次数为 2。对于单位阵，有 det(I) = 1。
直观理解：
是什么：以二维为例，表示一个区域的面积，负数则是将区域翻转，或者说定向改变。如果矩阵所代表的变换将空间压缩到更小的维度（不满秩），则行列式为 0（比如二维到一维，面积就变成了零）。列代表基向量，行代表坐标，一个 m×n 的矩阵表示 n 个基向量表示的空间映射在 m 维的坐标上。行列式是面积（二维）或体积（三维）缩放的比例。 
怎么算：以二维为例，主对角线元素代表两个维度缩放的比例，其余两个元素代表两个维度的坐标区域对角线的缩放。  
Page399: 迹（trace）
对于 n 阶方阵 A，它的迹（trace）是主对角线上的元素之和，即：
tr(A)=∑i=1nAiitr(A) = \sum_{i=1}^n A_iitr(A)=∑i=1n​Ai​i
​
Page400: Frobenius 范数
矩阵 A(m×n) 的 Frobenius 范数定义为：

矩阵的 Frobenius 范数就是将矩阵张成向量后的 L2 范数，其实就是所有元素的平方和再开方。
Page402: 低秩矩阵近似问题
给定一个秩为 r 的矩阵 A，欲求其最优 k 秩近似矩阵 A'（k ≤ r），这样的问题称为低秩矩阵近似问题。
该问题可以形式化为：

该问题可以使用奇异值分解：对矩阵 A 进行奇异值分解后，将 Σ 矩阵（见奇异值分解）的 r-k 个最小的奇异值置零获得矩阵 Σ_k，A_k = U_k Σ_k V_k^T 就是最优解，其中 U_k 和 V_k 分别是 U 和 V 前 k 列组成的矩阵。这个结果也称为 Eckart-Young-Mirsky 定理。
Page402: 奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称 SVD）
对任意矩阵 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m\times n}A∈Rm×n
 都可分解为：A=U∑VTA = U\sum V^TA=U∑VT
，其中，U∈Rm×mU \in \mathbb{R}^{m\times m}U∈Rm×m
 是满足 UTU=IU^TU=IUTU=I
 的 m 阶酉矩阵（unitary matrix）；V∈Rn×nV \in \mathbb{R}^{n \times n}V∈Rn×n
 是满足 VTV=IV^TV=IVTV=I
 的 n 阶酉矩阵；∑∈Rm×n\sum \in \mathbb{R}^{m \times n}∑∈Rm×n
 是 m×n 的矩阵，其中 (∑)ii=σi(\sum)_{ii} = \sigma_i(∑)ii​=σi​
 且其他位置的元素均为 0，σi\sigma_iσi​
 为非负实数且满足 σ1≥σ2≥...≥0\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge ... \ge 0σ1​≥σ2​≥...≥0
。
Page403: 拉格朗日乘子法（Lagrange multipliers）
拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法。通过引入拉格朗日乘子，可将有 d 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d+k 个变量的无约束优化问题求解。有等式约束和不等式约束两种。
以等式约束的优化问题为例。假定 x 为 d 维向量，要求 x 的某个取值 x* 使目标函数 f(x) 最小且同时满足 g(x)=0 的约束。从几何角度看该问题的目标是在由方程 g(x)=0 确定的 d-1 维曲面上寻找能使目标函数 f(x) 最小化的点。此时很容易得出在最优点目标函数与约束函数相切（即目标函数在该点的梯度正交于约束曲面）。由此可知，在最优点，梯度 ∇g(x),∇f(x)\nabla g(x), \nabla f(x)∇g(x),∇f(x)
 方向相同或相反：，即存在 λ ≠ 0 使得 ∇f(x∗)+λ∇g(x∗)=0\nabla f(x^*) + \lambda \nabla g(x^*) = 0∇f(x∗)+λ∇g(x∗)=0
，λ 称为拉格朗日乘子，定义拉格朗日函数为：L(x,λ)=f(x)+λg(x)L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)L(x,λ)=f(x)+λg(x)
。
Page405: 对偶函数（dual function）
将优化问题的约束推广到多个：具有 m 个等式约束和 n 个不等式约束，且可行域 D⊂Rd\mathbb{D} \subset \mathbb{R}^dD⊂Rd
 非空的优化问题：
minxf(x)  s.t.  hi(x)=0 (i=1,...m); gj(x)≤0 (j=1,...n)min_x f(x) \ \ s.t.\ \ h_i(x) = 0\ (i=1,...m);\ g_j(x) \le 0\ (j=1,...n)minx​f(x)  s.t.  hi​(x)=0 (i=1,...m); gj​(x)≤0 (j=1,...n)

该问题为优化问题的主问题（primal problem），相应的拉格朗日函数为：
L(x,λ,μ)=f(x)+∑i=1mλihi(x)+∑j=1nμjgj(x)L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i h_i(x) + \sum_{j=1}^n \mu_j g_j(x)L(x,λ,μ)=f(x)+∑i=1m​λi​hi​(x)+∑j=1n​μj​gj​(x)
，
其对偶函数定义为：
Γ(λ,μ)=inf⁡x∈DL(x,λ,μ)=inf⁡x∈D⟮f(x)+∑i=1mλihi(x)+∑j=1nμjgj(x)⟯\Gamma(\lambda, \mu) = \inf_{x\in D} L (x, \lambda, \mu) = \inf_{x\in D} \lgroup f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i h_i(x) + \sum_{j=1}^n \mu_j g_j(x)\rgroupΓ(λ,μ)=infx∈D​L(x,λ,μ)=infx∈D​⟮f(x)+∑i=1m​λi​hi​(x)+∑j=1n​μj​gj​(x)⟯
。
对偶函数给出了主问题的最优值下界，因为若 x* 为主问题可行域的点，对任意 μ⪰0,λ\mu \succeq 0, \lambdaμ⪰0,λ
，都有 ∑i=1mλihi(x)+∑j=1nμjgj(x)≤0\sum_{i=1}^m \lambda_i h_i(x) + \sum_{j=1}^n \mu_j g_j(x) \le 0∑i=1m​λi​hi​(x)+∑j=1n​μj​gj​(x)≤0
，进而有 Γ(λ,μ)≤L(x∗,λ,μ)≤f(x∗)\Gamma(\lambda,\mu) \le L(x^*, \lambda, \mu) \le f(x^*)Γ(λ,μ)≤L(x∗,λ,μ)≤f(x∗)
。
Page406: 二次规划（Quadratic Programming，简称 QP）
一类典型的优化问题，包括凸二次优化和非凸二次优化。目标函数是变量的二次函数，约束条件是变量的线性不等式。假定变量个数为 d，约束条件个数为 m，标准的二次规划问题形如：
min⁡x  12xTQx+cTx,  s.t.Ax≤b\min_x \ \ \frac{1}{2} x^TQx + c^Tx, \ \ s.t. Ax \le bminx​  21​xTQx+cTx,  s.t.Ax≤b

其中，x 为 d 维向量， Q ∈ R 为实对称矩阵，A ∈ R 为实矩阵，b ∈ R 和 c ∈ R 为实向量，Ax ≤ b 的每一行对应一个约束。
Page407: 半正定规划（Seme-Definite Programming，简称 SDP）
是一类凸优化问题，其中的变量可组织成半正定对称矩阵形式，且优化问题的目标函数和约束都是这些变量的线性函数。
给定 d×d 的对称矩阵 X, C，C⋅X=∑i=1d∑j=1dCijXijC·X = \sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^dC_{ij}X_{ij}C⋅X=∑i=1d​∑j=1d​Cij​Xij​
，
若 Ai(i=1,...,m) 也是 d×d 的对称矩阵，bi(i=1,2,...,m) 为 m 个实数，则半正定规划问题形如：
minXC⋅X;  s.t. Ai⋅X=bi;  i=1,2,...,m,X⪰0min_X C · X; \ \ s.t. \ A_i \cdot X = b_i; \ \ i = 1,2,...,m, X \succeq 0minX​C⋅X;  s.t. Ai​⋅X=bi​;  i=1,2,...,m,X⪰0
​
Page409: 伯努利分布（Bernoulli distribution）
关于布尔变量 x ∈ {0,1} 的概率分布，其连续参数 μ ∈ [0,1] 表示变量 x=1 的概率。
P(x∣μ)=Bern(x∣μ)=μx(1−μ)(1−x)P(x|\mu) = Bern(x|\mu) = \mu^x(1-\mu)^{(1-x)}P(x∣μ)=Bern(x∣μ)=μx(1−μ)(1−x)

E[x]=μ;var[x]=μ(1−μ)\mathbb{E}[x] = \mu; var[x] = \mu(1-\mu)E[x]=μ;var[x]=μ(1−μ)
​
Page409: 均匀分布（uniform distribution）
关于定义在区间 [a,b](a<b) 上连续变量的简单概率分布。
p(x∣a,b)=U(x∣a,b)=1b−ap(x|a,b) = U(x|a,b) = \frac{1}{b-a}p(x∣a,b)=U(x∣a,b)=b−a1​

E[x]=a+b2;var[x]=(b−a)212\mathbb{E}[x] = \frac{a+b}{2}; var[x] = \frac{(b-a)^2}{12}E[x]=2a+b​;var[x]=12(b−a)2​
​
Page410: 多项分布（multinominal distribution）
将伯努利分布由单变量扩展为 d 维，并在此基础上扩展二项分布就得到多项分布，它描述了在 N 次独立实验中有 mi 次 xi=1 的概率。
P(m1,m2,...,md∣N,μ)=Mult(m1,m2,...,md∣N,μ)=N!m1!m2!...md!∏i=1dμimiP(m_1,m_2,...,m_d|N,\mu) = Mult(m_1,m_2,...,m_d|N,\mu) = \frac{N!}{m_1!m_2!...m_d!} \prod_{i=1}^d \mu_i^{m_i}P(m1​,m2​,...,md​∣N,μ)=Mult(m1​,m2​,...,md​∣N,μ)=m1​!m2​!...md​!N!​∏i=1d​μimi​​

E[mi]=Nμi; var[mi]=Nμi(1−μi); cov[mj,mi]=−Nμjμi\mathbb{E}[m_i] = N\mu_i; \ var[m_i] = N\mu_i(1-\mu_i); \ cov[m_j,m_i] = -N\mu_j\mu_iE[mi​]=Nμi​; var[mi​]=Nμi​(1−μi​); cov[mj​,mi​]=−Nμj​μi​
​
Page410: 二项分布（binomial distribution）
描述 N 次是独立的伯努利实验中有 m 次成功（x=1）的概率。
P(m∣N,μ)=Bin(m∣N,μ)=(Nm)μm(1−μ)N−mP(m|N,\mu) = Bin(m|N,\mu) = {N \choose m} \mu^m (1-\mu)^{N-m}P(m∣N,μ)=Bin(m∣N,μ)=(mN​)μm(1−μ)N−m
​
Page411: 贝塔分布（Beta distribution）
关于连续变量 μ ∈ [0,1] 的概率分布，由两个参数 a>0, b>0 确定：
p(μ∣a,b)=Beta(μ∣a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa−1(1−μ)b−1=1B(a,b)μa−1(1−μ)b−1p(\mu|a,b) = Beta(\mu|a,b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \mu^{a-1} (1-\mu)^{b-1} = \frac{1}{B(a,b)} \mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}p(μ∣a,b)=Beta(μ∣a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)​μa−1(1−μ)b−1=B(a,b)1​μa−1(1−μ)b−1

E[μ]=aa+b; var[μ]=ab(a+b)2(a+b+a); Γ(a)=∫0+∞ta−1e−tdt\mathbb{E}[\mu] = \frac{a}{a+b}; \ var[\mu] = \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+a)}; \ \Gamma(a) = \int_{0}^{+\infty}t^{a-1}e^{-t}dtE[μ]=a+ba​; var[μ]=(a+b)2(a+b+a)ab​; Γ(a)=∫0+∞​ta−1e−tdt

当 a=b=1 时，贝塔分布退化为均匀分布。
Page412: 狄利克雷分布（Dirichlet distribution）
关于一组 d 个连续变量 μi ∈ [0,1] 的概率分布，∑i=1dμi=1\sum_{i=1}^d \mu_i = 1∑i=1d​μi​=1
。令 μ=(μ1,...,μd)\mu = (\mu_1,...,\mu_d)μ=(μ1​,...,μd​)
，参数 α=(α1,...,αd), αi>0,α^=∑i=1dαi\alpha = (\alpha_1,...,\alpha_d), \ \alpha_i>0, \hat{\alpha} = \sum_{i=1}^d \alpha_iα=(α1​,...,αd​), αi​>0,α^=∑i=1d​αi​

p(μ∣α)=Dir(μ∣α)=Γ(α^)Γ(α1)...Γ(αi）∏i=1dμi(αi−1)p(\mu|\alpha) = Dir(\mu|\alpha) = \frac{\Gamma(\hat{\alpha})}{\Gamma(\alpha_1)...\Gamma(\alpha_i）} \prod_{i=1}^d \mu_i^{(\alpha_i-1)}p(μ∣α)=Dir(μ∣α)=Γ(α1​)...Γ(αi​）Γ(α^)​∏i=1d​μi(αi​−1)​

E[μi]=αiα^, var[μi]=αi(α^−αi)α^2(α^+1), cov[μj,μi]=αjαiα^2(α^+1)\mathbb{E}[\mu_i] = \frac{\alpha_i}{\hat{\alpha}}, \ var[\mu_i] = \frac{\alpha_i(\hat{\alpha}-\alpha_i)}{\hat{\alpha}^2(\hat{\alpha}+1)}, \ cov[\mu_j,\mu_i] = \frac{\alpha_j\alpha_i}{\hat{\alpha}^2(\hat{\alpha}+1)}E[μi​]=α^αi​​, var[μi​]=α^2(α^+1)αi​(α^−αi​)​, cov[μj​,μi​]=α^2(α^+1)αj​αi​​

当 d=2 时，狄利克雷分布退化为贝塔分布。
Page412: 高斯分布（Gaussian distribution）
亦称正态分布（normal distribution），是应用最广泛的连续概率分布。
对于单变量 x ∈ (-∞, +∞)，高斯分布的参数为均值 μ ∈ (-∞, +∞) 和 方差 σ^2 > 0。
p(x∣μ,σ2)=N(x∣μ,σ2)=12πσ2exp⁡{−(x−μ)22σ2}p(x|\mu,\sigma^2) = \mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \}p(x∣μ,σ2)=N(x∣μ,σ2)=2πσ2​1​exp{−2σ2(x−μ)2​}

E=μ, var[x]=σ2\mathbb{E}=\mu, \ var[x]=\sigma^2E=μ, var[x]=σ2

对于 d 维向量 x，多元高斯分布的参数为 d 维均值向量 μ 和 d×d 的对称正定协方差矩阵 Σ。
p(x∣μ,∑)=N(x∣μ,∑)=12πddet⁡(∑)exp⁡{−12(x−μ)T∑−1(x−μ)}p(x|\mu,\sum) = \mathcal{N}(x|\mu,\sum) = \frac{1}{\sqrt{2\pi^d \det(\sum)}} \exp \{ -\frac{1}{2}(x-\mu)^T {\sum}^{-1}(x-\mu) \}p(x∣μ,∑)=N(x∣μ,∑)=2πddet(∑)​1​exp{−21​(x−μ)T∑−1(x−μ)}

E=μ, var[x]=∑\mathbb{E}=\mu, \ var[x]=\sumE=μ, var[x]=∑
​
Page412: 正态分布（normal distribution）
同高斯分布。
Page413: 共轭分布（conjugate distribution）
假设变量 x 服从分布 P(x|Θ)，其中 Θ 为参数，X={x1,x2,...,xm} 为变量 x 的观测样本，假设参数 Θ 服从先验分布 ∏(Θ)。
若由先验分布 ∏(Θ) 和抽样分布 P(X|Θ) 决定的后验分布 F(Θ|X) 与 ∏(Θ) 是同种类型的分布，则称先验分布 ∏(Θ) 为分布 P(X|Θ) 或 P(x|Θ) 的共轭分布。
Page414: 相对熵（relative entropy）
亦称 KL 散度或信息散度，可用于度量两个概率分布之间的差异。给定两个概率分布 P 和 Q，二者之间的相对熵定义为：
KL(P∣∣Q)=∫−∞+∞p(x)log⁡p(x)q(x)dxKL(P||Q) = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)}dxKL(P∣∣Q)=∫−∞+∞​p(x)logq(x)p(x)​dx

其中 p(x) 和 q(x) 分别为 P 和 Q 的概率密度函数。
通俗地说，用分布 Q 的最佳信息传递方式来传达分布 P，比用分布 P 自己的最佳信息方式传达平均多耗费的信息长度为 KL 散度。
Page414: 信息散度（information divergence）
同相对熵。
Page415: 交叉熵（cross entropy）
KL 散度展开可得：
KL(P∣∣Q)=∫−∞+∞p(x)log⁡p(x)dx−∫−∞+∞p(x)log⁡q(x)dx=−H(P)+H(P,Q)KL(P||Q) = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\log p(x)dx - \int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\log q(x)dx = -H(P) + H(P,Q)KL(P∣∣Q)=∫−∞+∞​p(x)logp(x)dx−∫−∞+∞​p(x)logq(x)dx=−H(P)+H(P,Q)

其中 H(P) 为熵，H(P,Q) 为 P 和 Q 的交叉熵。 通俗地说，用分布 Q 的最佳信息传递方式传达分布 P 中随机抽选的一个事件，所需的平均信息长度为交叉熵。
Page415: 熵（entropy）
熵是对整个事件信息量的量化，传达信息所需的最优平均信息长度为香农熵。
H(P)=∑xP(x)log⁡1P(x)H(P) = \sum_xP(x)\log\frac{1}{P(x)}H(P)=∑x​P(x)logP(x)1​
​
附：一些不错的学习资料
奇异值分解
​奇异值分解 SVD 的数学解释 - CSDN 博客​
​(3 条消息) 奇异值的物理意义是什么？ - 知乎​
​机器学习中的数学 (5)- 强大的矩阵奇异值分解 (SVD) 及其应用 - LeftNotEasy - 博客园​
​奇异值分解 (SVD) 原理详解及推导 - CSDN 博客​
拉格朗日乘子法
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​An Introduction to Lagrange Multipliers​
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​文章​
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正定矩阵和半正定矩阵
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狄利克雷分布
​(2 条消息) 什么是狄利克雷分布？狄利克雷过程又是什么？ - 知乎​
​机器学习的数学基础（1）--Dirichlet 分布 - CSDN 博客​
​科学网—再谈分布之分布（dirichlet 分布）- 贝叶斯分析之 2 - 张天蓉的博文​
​通俗理解 Dirichlet 分布及其实践 | A Notebook​
​Dirichlet Distribution（狄利克雷分布）与 Dirichlet Process（狄利克雷过程） | 数据学习者官方网站 (Datalearner)​
​LDA数学八卦​
熵、相对熵、交叉熵
​Shannon entropy in the context of machine learning and AI​
​如何理解KL散度的不对称性 | 机器之心​
​【 深度学习 】熵，交叉熵，KL 散度 Entropy, Cross-Entropy and KL-Divergence​
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